RC-цепь: постоянная времени

RC-цепь (резистор-конденсаторная цепь) — одна из самых простых электронных схем. Как нетрудно догадаться из названия, она состоит из резистора и конденсатора, соединённых последовательно или параллельно. Не смотря на простоту, эта цепь способна применять довольно сложные математические операции к входным сигналам, а также управлять продолжительностью во времени разных электронных событий.

Краткое содержание:

• Принцип работы RC-цепи
• Постоянная времени
• Расчёт RC-цепи
• Интегрирующая RC-цепь
  • Интегрирование ШИМ-сигнала
  • RC-цепочка в цепи переменного тока
  • Применение интегрирующей RC-цепи
• Дифференцирующая RC-цепь
  • Формирователь импульсов
  • Прохождение высокочастотного сигнала
  • Применение дифференцирующей RC-цепи
• Примеры схем

Принцип работы RC-цепи

Если к RC-цепочке подключить источник питания, конденсатор начнёт заряжаться через резистор.

Этот процесс растянут во времени. Резистор ограничивает ток: чем выше его сопротивление, тем медленнее идёт заряд. С другой стороны, от ёмкости конденсатора зависит, какое количество заряда он способен принять: чем больше ёмкость, тем дольше он будет заряжаться. Процесс происходит до тех пор, пока конденсатор не зарядится полностью. Тогда на нём установится напряжение питания U, а ток в цепи прекратится.

Нужно отметить, что заряд конденсатора происходит по экспоненциальному закону, то есть скорость заряда (другими словами, ток в цепи) уменьшается со временем. Ведь чем больше заряда накопил конденсатор, тем сложнее впихнуть в него очередную порцию.

Аналогично происходит разряд конденсатора через резистор. Только напряжение на кондесаторе со временем не растёт, а падает, и скорость этого процесса по тем же законам постепенно замедляется.

Постоянная времени

Всё вышесказанное математически выражается через постоянную времени τ (тау). Это ключевой параметр RC-цепи, который показывает, за какое время конденсатор зарядится до 63% от максимального значения или разрядится до 37% от начального значения.

Постоянная времени рассчитывается по формуле:

τ = R × C

Где:

• R — сопротивление резистора в омах
• C — ёмкость конденсатора в фарадах

Чем больше значение постоянной времени, тем медленнее происходит заряд или разряд конденсатора.

Откуда взялись числа 63% и 37%? Почему, например, не 80 и 20? Здесь мы имеем дело со стандартным подходом к измерению экспоненциальных процессов, к слову, не только в электронике. Постоянная времени показывает, за какое время величина изменяется в e раз. Здесь e - основание натурального логарифма. Это одна из основных констант математики, примерно равная 2.71.

Допустим, конденсатор разряжается. Через время, равное τ, его заряд уменьшится в e раз. 1/e ≈ 0.37 или 37%. Через следюущий промежуток τзаряд уменьшится ещё на 37% от оставшегося и так далее.

Аналогично, при заряде за каждый последующий период τ заряд увеличивается на (1 - 1/e), или 63% от разницы между текущим и максимальным зарядом. Математически это означает, что заряд конденсатора будет бесконечно приближаться к максимальному, но никогда его не достигнет. На практике, считается, что конденсатор полностью заряжен через время 5 * τ. На графике выше шкала времени как раз размечена в единицах τ.

Расчёт RC-цепи

С помощью приведённых формул можно точно рассчитать напряжение на конденсаторе в каждый момент времени. Допустим, такая задачка. Есть RC-цепочка из резистора 100 Ом и конденсатора 2000 мкФ. Её подключили к источнику питания с напряжением 10 В. Через какой промежуток времени напряжение на конденсаторе достигнет 8 В?

Сначала посчитаем постоянную времени:

τ = 100 * 0.002 = 0.2 с

Теперь посчитаем, за сколько периодов τ напряжение достигнет 80% от максимального:

n = -ln(1-0.8) ≈ 1.6

Чуть больше полутора периодов. Осталось посчитать это в секундах:

t = 0.2 * 1.6 = 0.32 c

Интегрирующая RC-цепь

Интегрирующая RC-цепь — это схема, в которой выходное напряжение пропорционально интегралу входного сигнала по времени.

Давайте посмотрим, как она работает, на примере простых сигналов. Для начала, подадим на вход интегрирующей цепи прямоугольный импульс большой длительности.

Постойте! Интеграл от константы - линейная функция, а у нас на выходе явно кривая. Собственно, это кривая заряда конденсатора, рассмотренная выше.

Дело в том, что, если рассматривать выходной сигнал на очень маленьком интервале времени, наша кривая практически совпадает с линейной. И тогда противоречий нет. А мы делаем первый вывод: интегрирующая RC-цепь хорошо работает только с сигналами, у которых период значительно меньше постоянной времени τ.

Интегрирование ШИМ-сигнала

Что ж, давайте подадим на вход те же прямоугольные импульсы, но высокой частоты:

Здесь наша rc-цепочка работает в линейной области. Предполагается, что к выходу схемы подключена нагрузка, через которую конденсатор разряжается в промежутке между импульсами.

При дальнейшем увеличении частоты сигнал на выходе становится практически постоянным: за короткий импульс конденсатор не успевает заметно зарядиться, но и за паузу не разряжается полностью, как в предыдущем примере.

Обратите внимание: уровнь сигнала на выходе напрямую зависит от скважности импульсов. Таким образом, RC-цепочка прекрасно работает с ШИМ-сигналом, превращая его в постоянное напряжение заданного уровня.

RC-цепочка в цепи переменного тока

Выше мы видели, как интегрирующая RC-цепь "сглаживает" ШИМ-сигнал, приводя его к некоему постоянному усреднённому напряжению. То же самое будет происходить, если на вход подать гармонический (синусоидальный) сигнал достаточно высокой частоты.

Вспомним, что интеграл - это, по сути, суммарная площадь под кривой, с учётом знака. В данном случае площадь положительных участков, которые выше нуля, полностью сопадает с площадью отрицательных. Они взаимоуничтожаются и на выходе получается ноль.

Но что, если мы приподнимем сигнал, добавим к нему постоянную составляющую? Интегрирующая RC-цепь и в этом случае сгладит сигнал, убрав все "неровности". Другими словами, выделит постоянную составляющую.

Можно посмотреть на это ещё вот с какой стороны. Резистор и конденсатор представляют собой делитель напряжения. Выходной сигнал в этой схеме снимается с нижнего плеча делителя, с конденсатора. При этом, сопротивление конденсатора зависит от частоты сигнала: чем она выше, тем меньше сопротивление. Получается, такой делитель ослабляет высокочастотную составляющую входного сигнала, т.к. вся эта составляющая падает на верхнем плече делителя, резисторе.

Применение интегрирующей RC-цепи

Подводя итог характеристикам и применению интегрирующей RC-цепи:

• Постоянная времени должна быть много больше времени изменения входного сигнала
• В сочетании с источником ШИМ-сигнала позволяет получать постоянное напряжение заданного уровня
• Служит фильтром высоких частот
• Позволяет выделить постоянную составляющую

Дифференцирующая RC-цепь

Если в интегрирующей RC-цепи поменять резистор и кондесатор местами, получится дифференцирующая RC-цепь.

Как не сложно догадаться из названия, в дифференцирующей RC-цепи выходное напряжение пропорционально производной входного сигнала по времени.

Почему так происходит? Здесь мы тоже имеем дело с делителем напряжения, только верхнее плёчо представлено конденсатором, а нижнее - резистором. Для постоянного сигнала сопротивление конденсатора высокое, он просто не пропускает постоянную составляющую к резистору (соответственно, к выходу). Зато для изменяющегося сигнала сопротивление конденсатора низкое. Чем круче изменяется входной сигнал - тем ниже сопротивление конденсатора - тем большая доля напряжения сигнала будет доставаться резистору. Это и есть взятие производной. Ведь производная в математике показывает скорость изменения функции.

Формирователь импульсов

Подадим на вход дифференцирующей RC-цепи длинный прямоугольный импульс. Как и ожидалось, в момент переднего фронта импульса скорость изменения входного сигнала максимально, поэтому и на выходе всплеск напряжения. Но затем конденсатор начинает медленно разряжаться, показывая нелинейную картину.

Поэтому, дифференцирующая цепь, так же, как интегрирующая, хорошо работает на высоких частотах, чтобы период сигнала был много меньше постоянной времени τ.

Но и на длинных имульсах дифференцирующая цепь находит своё применение. Если пренебречь пологим и нелинейным задним фронтом выходного сигнала, получается, мы сформировали короткий выходной импульс из длинного входного. Причём параметры выходного импульса (длительность) определяются постоянной времени. Таким образом, дифференцирующая RC-цепочка может использоваться в цифровой электронике как формирователь импульсов.

Прохождение высокочастотного сигнала

На высоких частотах RC-цепь показывает хорошее дифференцирование, при этом форма выходного сигнала повторяет форму входного. Но, без постоянной составляющей: производная константы, как известно, равна нулю.

Применение дифференцирующей RC-цепи

Кратко подведём итог сказанному о дифференцирующей RC-цепи. Она может применяться:

• В схемах формирования импульсов
• В качестве фильтра низких частот
• Позволяет убрать постоянную составляющую сигнала

Примеры схем

В практических схемах, размещённых на данном сайте, есть примеры применения RC-цепей. Могу порекомендовать вашему вниманию: модель реле времени с времязадающей RC-цепочкой и генератор прямоугольных импульсов. Также RC-цепь используется как фильтр постоянной составляющей при соединении каскадов усилителя, например, в этой схеме.